anton mipamat

$Teorema : Jika$ y $ adalah $ $ vector $ acak $ dengan $ mean $ $ \mu $ $ dan $ $ covariance $ matriks $ \sum $ $ dan $ jika $ A adalah Matriks Simetrik konstan maka \\ $E(y'Ay)=tr(A\sum )+\mu' A\mu $\\ \\ Bukti\\ \\ $E(y'Ay)=tr(A\sum )+\mu' A\mu $\\ \\ Dari persamaan diatas dapat dimisalkan $E=y'Ay$ dimana e_{ii}=\sum _{k}a_{ik}b_{ki} maka \\ \\ tr(y'Ay)= tr(E)=\sum_{i}e_{ii}=\sum _{i}\sum _{k}b_{ik}a_{ki} \\$

$$ Hal yang sama dilakukan dimisalkan F=Ayy' adalah f_{ii}=\sum _{i}\sum _{k}b_{ik}a_{ki} \\ \\ tr(Ayy')=tr(F)=f_{ii}\sum _{i}\sum _{k}a_{ki}b_{ik}=tr(E) \\ \\ $ sehingga $ E(tr(Ayy'))=tr(E(Ayy')) $\\ \\ $ karena E(tr(Ayy'))=tr(E(Ayy')) \\ \\ misal A= \begin{pmatrix} a'1\\ a'2\\ a'3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a11 & a12 & ...a1n\\ a21& a22& ...a2n\\ a_{n1}& a_{n2} &... a_{nn} \end{pmatrix} \\ \\ oleh karena itu tr(E(Ay'y))=tr(AE(yy'))\\ \\ Karena covariance merupakan kumpulan dari Variance sehingga ambil saja\\ \\ Var(X)=E(X^{2})+E(X)^{2}\\ \\ \sum =E(y'y)-\mu \mu '\\ \\ E(y'y)=\sum +\mu \mu '\\ \\ $ sehingga $ $tr(A(E)yy')=tr(A(\sum +\mu \mu '))\\ \\ tr(A(E)yy')=tr(A(\sum +\mu \mu '))\\ \\ $ Melalui sifat distribusi didalam trace dapat dilakukan$

$tr(A(\sum +\mu \mu '))=tr(A+A\mu \mu ')\\ \\ $Melalui sifat distributif pada trace dapat dilakukan\\ \\ tr(A(\sum +\mu \mu '))=tr(A+A\mu \mu ')= tr(A\sum )+tr(A\mu \mu ')\\ \\ $ Dan $ melalui sifat komutatif seperti diawal pembuktian ini dapat dilakukan \\ \\ tr(A\sum )+tr(A\mu \mu ')=tr(A\sum )+tr(\mu A\mu ')\\ \\ $sehingga $ dapat dilakukan tr(A\sum )+tr(\mu A\mu ')=tr(A\sum)+\mu A\mu ' $ Dari $ keseluruhan ini didapatkan \\ \\ e(y'Ay)=tr(A\sum )+\mu 'A\mu$

$\mathbf{Teorema$ $\mathbf{8.1a}}\\ Matriks$ $\textbf{I}-(\frac{1}{n})\textbf{J},\mathbf{H_c}=\mathbf{X_c}(\mathbf{X_c^'}\mathbf{X_c})^{-1}\mathbf{X_c^'},$ $and$ $\mathbf{I}-(\frac{1}{n})\mathbf{J}-\mathbf{H_c}$ $memiliki$ $sifat$ $sebagai$ $berikut:\\ (i)$ $\mathbf{H_c}[\mathbf{I}-(\frac{1}{n})\mathbf{J}]=\mathbf{H_c}\\ (ii)$ $\mathbf{H_c}$ $adalah$ $idempotent$ $dari$ $rank$ $k\\ (iii)$ $\textbf{I}-(\frac{1}{n})\textbf{J}-\mathbf{H_c}$ $adalah$ $idempotent$ $dari$ $rank$ $n-k-1\\ (iv)$ $\mathbf{H_c}[\mathbf{I}-(\frac{1}{n})-\mathbf{H_c}]=\mathbf{O}\\\\ Bukti.$ $(i)$ $\mathbf{H_c}(\mathbf{I}-\frac{1}{n}\mathbf{J})=\mathbf{H_c}-\frac{1}{n}\mathbf{H_c}\mathbf{J}\\ \hspace*{3.33cm}=\mathbf{X_c}(\mathbf{X_c^'}\mathbf{X_c})^{-1}-$ $\frac{1}{n}\mathbf{X_c}(\mathbf{X_c^'}\mathbf{X_c})^{-1}\mathbf{X_c^'}\mathbf{jj^'}$ $\\ \hspace*{3.33cm}=\mathbf{X_c}(\mathbf{X_c^'}\matbf{X_c})^{-1}\matbf{X_c^'}-O$ $\\ Karena$ $\mathbf{X_c^'}\matnbf{jj^'}=\mathbf{Oj^'}=O$

$Bukti\\(ii)\mathbf H_{c} $ idempoten dari rank $ k.\\$ Akan ditunjukkan bahwa $ \mathbf H_{c}^{2} = \mathbf H_{c} $ dimana $ \mathbf H_{c}= \mathbf X_{c}\left ( \mathbf X_{c}^{'} \mathbf X_{c} \right )^{-1} \mathbf X_{c}^{'}.\\ Kemudian, $ \mathbf H_{c} $ $ adalah $$ idempoten $,$ rank $ \left ( \mathbf H_{c} \right )=tr $ \left( \mathbf H_{c} \right ) $ $ dari $$ Teorema 2.1.3d.(Jika \mathbf A adalah simetris dan idempoten dari rank $r $, kemudian rank($\mathbf A)=tr(\mathbf A)=$r$)\\ Matriks $ \mathbf X_{c} $ $ berukuran $ n x k $ dari$ $ rank $ k $.$

$(iii)$ $\mathbf I-\frac{1}{n}\mathbf J-\mathbf H_{c}$ $is$ $idempotent$ $of$ $rank$ $n-k-1$ $\\ \hspace*{1cm}Bukti:$ $(\mathbf I-\frac{1}{n}\mathbf J-\mathbf H_{c})= (\mathbf I-\frac{1}{n}\mathbf J)^2-(\mathbf I-\frac{1}{n}\mathbf J)\mathbf H_{c}-\mathbf H_{c}(\mathbf I-\frac{1}{n}\mathbf J)+\mathbf H_{c} $\\ \hspace*{5.2cm}= $\mathbf I-\frac{1}{n}\mathbf J-\mathbf H_{c}-\mathbf H_{c}+\mathbf H_{c}$ $\\ \vspace*{1cm}\hspace*{1cm}The$ $rank$ $(\mathbf I-\frac{1}{n}\mathbf J-\mathbf H_{c})= tr$ $(\mathbf I-\frac{1}{n}\mathbf J-\mathbf H_{c})$$

$Bukti\\(iv)\mathbf H{_{c}}\left ( \mathbf I-\frac{1}{n}\mathbf J-\mathbf H_{c} \right )=\mathbf 0\\ \mathbf H{_{c}}\left ( \mathbf I-\frac{1}{n}\mathbf J-\mathbf H_{c} \right )=\mathbf H_{c}\left ( \mathbf I-\frac{1}{n}\mathbf J \right )-\mathbf H_{c}^{2}=\mathbf H_{c}-\mathbf H_{c}=\mathbf 0$

$\hspace*{-0.6cm}$Teorema$\8.1b\\ $jika $y$\sim Nn(X\beta ,\sigma I)$ $maka$ $SSR/\sigma ^2=\hat{\beta _{1}'}{X}^{'}_{c}{X}_{c}\hat{\beta _{1}'}/\sigma ^2$ $ dan \\ $ $SSE/\sigma ^2=\left [ \sum_{i=1}^{n} \right (y_{i}-\bar{y})^2-\hat{\beta _{1}'}{X}^{'}_{c}{X}_{c}\hat{\beta _{1}'}]/\sigma ^2$ $memiliki\ distribusi$:\\ (i)$ $ SSR/\sigma ^2\sim X^2(k,{\lambda _{1}})$ $ dimana $ $\lambda _{i}=\mu ^{'}A\mu /2\sigma ^2= \hat{\beta _{1}'}{X}^{'}_{c}{X}_{c}\hat{\beta _{1}'}/\2\sigma ^2.\\ (ii)$ $ SSR/\sigma ^2\sim X^2(n-k-1).\\ \\ $Bukti:&\\ y^{'}(I-(1/n)J)y=y'H_{c}yy'(I-(1/n)J-H_{c})y\\ bagian$ $ 1 :$ $ y'H_{c}y\\ bagian$ $2:$ $y'(I-(1/n)J-H_{c})y$

$\hspace*{-0.6cm}$Teorema$\8.1c\\ $Jika y menyebar Nn(X\beta ,\sigma^2I),$maka$ $SSR$ $dan$ $SSE$ independent dimana SSR dan SSE didefinisikan pada (8.1) dan (8.2)\ \\ $Bukti:$\\ $SSE=y'(I-\frac{1}{n}J-Hc)y)\\ SSR=y'Hcy\\ $maka kovarian keduanya=0 $atau$ Hc$(I-\frac{1}{n}J-Hc)=0\\ $Sehingga keduanya saling bebas$$

$\hspace*{-0.6cm}$Teorema 8.1d$\\ $Jika y~Nn(X\beta ,\sigma ^2I), $distribusi$ dari\\ $F=\frac{SSR/k\sigma^2 }{SSE/[(n-k-1)\sigma ^2]}=\frac{SSR/k}{SSE/(n-k-1)}\\ $didapatkan:\\ (i)$Jika$ H_0:\beta _1=0\\ \hspace*{0.5cm}$salah$, maka F berdistribusi$\\ \hspace*{0.5cm}F(k,n-k-1,\lambda _1).\\ (ii)$Jika H_0:\beta _1=0\\ \hspace*{0.6cm}$benar,$ maka \lambda _1=0,$ $dan F berdistribusi F(k,n-k-1).$

$\hspace*{-0.6cm}$Bukti:\\ $(i)$Misal $Z=\frac{u/p}{v/q},$maka Z berdistribusi $F(p,q,\lambda ) $dengan $u~x^2 $dan $v~x^2 $karena\\ \hspace*{0.5cm}$\beta _1\neq 0 $atau $\beta _1=\hat{\beta }$ maka $\lambda _1=\hat{\beta' }X'_cX_c\hat{\beta }\neq 0$, maka F berdistribusi\\ \hspace*{0.5cm}F(k,n-k-1,\lambda _1).\\ (ii)\beta _1=0\\ \hspace*{0.6cm}$maka, \lambda _1=\beta _1'X'_cX_c\beta _1\\ \hspace*{2.2cm}=0'X'_cX_c)\\ \hspace*{2.2cm}=0\\ \hspace*{0.6cm}$Sehingga:$\\ \hspace*{0.6cm}$Berdistribusi $ F(k,n-k-1).$